网络画板、超级画板、Mathematica的结合使用

网络画板、超级画板、Mathematica的结合使用

这一次，我把网络画板和Mathematica结合起来，证明了前几天我遇到的一个问题： ∠BAC为钝角，分别用AB、AC向外作正方形ABGF、ACDE。请问：如果F、E、D共线，A、B、C应该满足什么条件？

在《网络画板晋阶——解决几何问题一则》里，我得到一个可信度很高的结论，但是毕竟没有证明过，所以不太放心。

现在，用解析几何的方法，证明一番。

2网络画板晋阶——解决几何问题一则

首先，用网络画板作出基本图形——△ABC，设A的坐标为（x，y），B、C的坐标为（-1，0）、（1，0）。

然后，以AB、AC为边，向外作正方形ABGF、ACDE。

我们要知道G的坐标，可以手算，也可以用Mathematica来代劳。ComplexExpand可以有效地进行复数的运算，而一个复数对应一个向量，一个向量逆时针旋转90°，就相当于这个复数乘以 i，其中i=e^(i*π/2)=cos90°+i*sin90°=sqrt(-1)，是虚数单位。

向量BA对应的复数是x+1+i*y，x+1+i*y 乘以 i就得到BG对应的复数， Mathematica代码是：

ComplexExpand[(x+1+I y)*(E^(I Pi/2))]

或者

ComplexExpand[(x+1+I y)*I]

注意，Mathematica里面的虚数单位用 I 表示。

运行结果是-y+i*(1+x)，那么，向量BG就等于（-y，1+x），G的坐标就是（-y-1，1+x）

同样的，可以知道其余点的坐标：

F(x-y,1+x+y)，

E(x+y,1-x+y)，

D(1+y,1-x)。

当D、E、F共线时，△DEF面积为0。

用Mathematica来处理：

Det[{{x-y,1+x+y,1},{x+y,1-x+y,1},{1+y,1-x,1}}]==0

运行结果是：2*x^2-2*x+2*y^2==0

可以知道，这是一个圆，半径是1/2，圆心为（1/2，0）。

作出图形来看看：

Show[Graphics[{Red,Point[{{-1,0},{1,0},{1/2,0.9}}],Green,Line[{{-1,0},{1,0},{1/2,0.9},{-1,0}}]}],ContourPlot[Det[{{x-y,1+x+y,1},{x+y,1-x+y,1},{1+y,1-x,1}}]==0,{x,-2,2},{y,-2,2}]]

可以说，我们已经得出一个经得起推敲的结论：

固定B、C两点位置，设BC中点为T，∠BAC为钝角，分别用AB、AC向外作正方形ABGF、ACDE。如果F、E、D共线，那么A的轨迹就是以TC为直径的圆。

具体课件，请参考网络画板官网《一个问题的解析证明》！

这是解析法（代数法）的证明，能不能用纯几何的方法进行证明呢？

我尝试着用超级画板的自动推理功能来证明这个问题，但是超级画板并没有直接给出结论！

但事实上，超级画板的推理，已经揭示了最终答案：

如图，延长AT至U，使得UT=AT，连结BU。我们容易证明，BU⊥AU，AB=AF，BU=AC=AE，∠ABU=90°-∠BAU=∠FAE；

所以，△ABU全等于△FAE；

所以，AE⊥EF。